Wie man Atomorbitale visualisiert

Was sind Atomorbitale?

Atomorbitale, so wie sie allgemein bekannt sind, beschreiben die Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Elektronen in der Atomhülle. Dabei können die Elektronen eines Atoms, quantenmechanisch betrachtet, überall zu finden sein. Es ist im statistischen Mittel nur sehr viel wahrscheinlicher, Elektronen in einem Orbital zu finden.

Abgesehen von der Zahl der Elektronen haben Atomorbitale also in erster Linie nichts mit Atomkernen oder Kernphysik zu tun. Analytisch berechenbar und darstellbar sind dabei nur die Orbitale des Wasserstoffatoms, das ja nur ein einziges Elektron besitzt. Trotzdem gibt es es auch hier weiter außen liegende Orbitale, die "strikt" voneinander getrennt sind. Diese entstehen, wenn dem Elektron durch elektromagnetische Strahlung weitere Energie hinzugefügt wird.

Rechts (oder weiter unten auf dem Smartphone) sind dabei einige Konfiguration des Wasserstoffatoms mit der Hauptquantenzahl n = 3 dargestellt. In der ersten Visualisierung sind dabei sogar die beiden innenliegenden Orbitale zu erkennen. Aufgrund der Tatsache, dass die Farbskala eingeschränkt wurde, erscheinen sie visuell getrennt, tatsächlich die Wahrscheinlichkeit auch zwischen den wolkenähnlichen Gebilden nicht null.

Wie sind sie definiert?

Atomorbitale sind die Lösung der Schrödingergleichung des Wasserstoffatoms. Während der Lösung kann man die entstehende partielle Differentialgleichung separieren in einen Winkel- und einen Radialteil. Der Winkelteil wird dabei durch die sogenannten Kugelflächenfunktionen gelöst, der Radialteil durch die Radialgleichung, die auf die assoziierten Laguerre-Polynome zurückgreift. Beide Lösungen sind orthogonale Polynomsysteme in ihren jeweiligen Lösungsräumen, so dass auch jede Linearkombination der Lösungen eine weitere Lösung beschreibt.

Kugelflächenfunktionen sind komplexwertige Polynome, beschreiben also kein physikalisch messbares Ergebnis. Dieses Problem löst man, indem man das Betrags-Quadrat der Lösung betrachtet, welches dann wieder rein reellwertig ist.

Wie visualisiert man Atomorbitale?

Die Lösung der Wasserstoff-Schrödingergleichung ist dreidimensional, so dass wir eine der vorhandenen 3D-Plotting-Varianten verwenden können. Besonders gute Ergebnisse erreicht man bei diesen wolkenartigen Aufenthaltswahrscheinlichkeiten mit dens3d und der Option cloudplot. Dabei muss man jedoch darauf achten, dass diese Option sehr rechenintensiv ist. Im unten folgenden Code Snippet sollte man also nicht alle 9 Plots zugleich aktiv haben, da man sonst vielleicht einen Crash risikiert.

Wir verwenden außerdem die Option clog, da die Aufenthaltswahrscheinlichkeit logarithmisch ist. Dabei ist es aber wichtig, ein Intervall für die Farbskala vorzugeben, dass stats größer als 0 ist. cut ermöglicht des Weiteren einen Blick in das Zentrum der Visualisierung.

Die Funktion, die die (komplexwertigen) Orbitale des Wasserstoffs beschreibt psi_H(), findet man in den ersten Zeilen des Code Snippets. Diese setzt sich durch die genannten Kugelflächenfunktionen Y() und dem Radialterm radial() zusammen, der davor definiert wird.

Der folgende Code Snippet muss in ein Script kopiert und von dort ausgeführt werden, da lclfunc im Terminal nicht funktioniert.